管道声传播的发展
随着航空发动机性能的不断提高，高级负荷、跨声速压气机的普遍使用，其流致噪声问题越发严重。压气机流致噪声一方面会造成飞行器扰民，降低隐蔽性能；另一方面，过强的流致噪声还会对压气机叶片造成声疲劳损坏，影响飞行器安全。因此，有必要开展压气机噪声形成机理、声学特征及测试分析技术研究，为新型号航空发动机的低噪声设计提供技术支持。
航空发动机叶轮机（风扇、压气机和涡轮）通常是由圆形（或环形）管道中相互靠近的转子和静子叶片排所构成的流体机械。转子叶片高速旋转带动气流，与上游IGV导叶和下游静子相互作用，产生非均匀、非定常脉动压力波并通过管道向远场辐射单音噪声和宽频噪声。
当前，国内外不少研究考虑到了流致噪声的产生和气动弹性不稳定性（如颤振、强迫振动和声共振）相关，已经广泛研究了轴向流动管状机械中的小扰动的传播及其与叶片排的相互作用。在没有强冲击波的情况下，流动不均匀性的强度通常很小，因此在许多应用中，它们可以被认为是对平均流动的小扰动。因此，运动方程可以做线化处理。这使得这种流动的数学处理大大简化。对不稳定流动现象，假设上游流动由施加在均匀轴向平均流动上的扰动组成。然后可以将这些扰动分成不同的独立潜在的声学、熵和旋涡模式。该模型适用于轴向平均流管道模型。 然而，在涡轮风扇发动机的级间区域中，流场表现为非均匀的可压缩剪切流和强旋涡。对于旋流存在的情况，平均旋流与扰动量的相互耦合作用严重影响着声波的传播截止特性。旋流产生的离心力和科式力使得声模态、涡模态和熵模态耦合在一起。而传统的轴向平均流情况的模态分析、基于轴向平均流的对流波动方程以及基于无旋流平均流假设的全势方程都不再适用。因此，需要从原始未简化的连续方程、动量方程和能力方程出发，重新建立新的旋流声传播模型来研究旋流存在下的模态特性。
从上个世纪70年代，Nayfeh等人[1]系统的分析了发动机管道内声模态传播特性后，1977年，Kerrebrock[2]最先采用模态形式分析了无限长管道内包含旋流的小扰动传播问题，并给出了刚体旋转和自由涡两种平均旋流的的近似形式。90年代中期，Kousen[3-5]采用配置发求解欧拉方程特征值问题，研究无限长硬壁管道内有均熵、无粘、可压旋流情况下的小扰动传播特性。他的研究结果表明，当有平均旋流存在时，管道内有三类模态：第一类是类似平均轴流声模态的近声模态（Acoustic modes），与流体可压性相关，之所以叫作近声模态是由于这部分模态不像在平均轴流情况下完全是压力波，但又压力占优，扰动的压力成分主要集中在这部分模态；第二类模态是由于旋流的存在产生的一个特征值(即特征波数)连续体（Critical Layer），这部分模态的随流导数为0， 因此叫做纯对流模态，这部分模态不含压力成分，主要是涡扰动。第三类模态是位于纯对流模态两侧的两支离散的近对流模态（Hydrodynamic modes），熵量占优但又包含少量压力成分。在后续的研究中，一些学者又相继考虑了边界条件的影响，在包含软壁面边界条件的同时，近声模态将发生偏离。旋流背景下软硬边界条件，满足基本欧拉线性方程的特征值对比如下图 2所示。
从本世纪初开始，美国圣母大学(the University of Notre Dame) Atassi教授领导的Hessert航空研究中心在压气机螺旋流的流致噪声、声传播及声模态研究方面进行了一系列深入科研工作[6-10]。同样是进行无限长硬壁管道均熵旋流的模态分析，与Kousen不同的是，他们采用Goldstein的速度分解理论，将 扰动速度分解成与平均流涡量相关的速度(有旋部分)，与压力相关的速度(有势部分)和由熵引起的速度三部分，然后代入欧拉方程求解特征值问题。研究给出了近对流模态的特性及不同模态之间的耦合程度。1998年，Tam和Aunault[11]通过采用有限差分格式 求解线化欧拉方程初值问题分析了有旋流存在时硬壁管道内的模态特性，他们假设定常流的密度是常量，实际上求解的是个非均熵流问题。给出了此种情况下不稳定波的性质，并指出近声模态与可压性有关，而可压性对对流模态几乎没有影响。2001年，Nijboer[12]比较了 Kousen和Tam模态分析的工作，指出硬壁情况下非均熵流和均熵流特征值的计算结果的差异，尤其是对流模态部分，当假设定常流密度不变时，对流模态会产生伪模态。2006年，Atassi[7]分析了非均匀流中耦合的熵波和涡波的传播和稳定性问题。同年，Heaton和Peake[13]分析了有旋流存在时，对流模态中的连续谱的不稳定性问题。Cooper [14]利用在径向以对数变化的熵分布研究了有旋流条件熵对模态的影响。由于管道内存在平均旋流时，模态扰动(指有相同旋转周期和行波波数的扰动)一般不能用类似正余弦函数(矩形管)或Bessel函数(圆管)这类特殊函数表示，而只能用一些数值方法描述，需要从原始控制方程出发采用近似解析或者数值方法求解，如WKB近似、配置法、谱方法等。
从模态分析的结果人们认识到旋流对模态传播截止特性的影响，因此有限长管道内包含平均旋流的声传播问题开始受到重视。本世纪初，Cooper和Peake[14]用基于摄动理论的多尺度方法研究渐变管道内平均旋流存在下的声传播特性。指出平均旋流会使同向旋转的模态更靠近截止（反向旋转模态远离截止）。并指出当壁面为软壁面时，同向旋转的模态比在无旋流中更容易衰减（反向旋转的模态可能会放大）。2004年又进一步分析了航空发动机内由于旋流和管道截面的变化在入口管道产生的声共振现象[15, 16]。2005年同时考虑了有旋流情况下，声波在管道中的传播情况，和采用Wiener-Hopf方法计算等截面硬壁环管中有锥体存在情况下声波向前和向后的辐射[17]。2006年，在以往工作的基础上，Cooper[18]分析了平均流熵的形式对变截面管中含有旋流时声传播的影响。 但多尺度方法公式不具有通用性，应用不方便，并且无法考虑各模态之间反射、散射等 相互作用，因此只能作为一种近似方法。2001年，Ali等人[6, 19]推导了包含旋流影响的管道出入口无反射边界条件，并应用到线化欧拉方程中采用有限差分方法分析声和涡扰动在管道内的传播。另一种常用的管道声传播计算方法是有限元方法，已有的有限元模型主要还是局限于有势平均流情况，不适用于计算有平均旋流情况。
除管道声传播外，利用声类比对旋转声源的发声和预测也是至关重要的一个环节。1951年，Lighthill[20, 21]创造性地提出，把流体力学基本方程重新变换，并把脉动的气体密度作为独立的变量，准确地类比流体力学方程左端项为自由空间的声传播波动算子，右边作为流动噪声的声源项。该方程的最终可通过计算为源项与格林函数的卷积得到，在这种情况下格林函数为简单的自由空间格林函数。经过不断的发展，莱特希尔的类比已经以多种方式扩展，包括考虑流动中的移动表面，Curle[22] (1955)和FfowcsWilliams和Hawkings [23] (1969)，并在左侧选择不同的因变量（例如，Goldstein[24]（1976）和Morfey和Wright[25]（2007））。此外，一些学者通过改写左侧的算子使得其对某些研究的问题的流动噪声更加适用。Lilley[26] (1973)将Lighthill的类比扩展为更适合的形式通过在左侧引入三阶算子来表示高速喷射噪声，以表示单向基础剪切流。Howe[27] (1975)的对流波动方程重新改造了声类比方程，使得其这个理论能够明确地考虑到各种非声学、非均匀平均流动等因素对流动噪声的影响。
应用发动机管道的噪声预测，通过格林函数考虑管道旋流中的影响。同时，旋流与转子、静子叶片排之间的相互作用及旋流对转静干涉噪声的作用等问题也值得研究。1994年，Wundrow[28]采用格林函数的方法研究旋流与叶片排的相互作用。此外，Atassi、Peake等人陆续研究了有旋流存在时叶栅的声辐射问题，给出了其高频近似，分析了旋流对叶片负载的影响。2005年，Cooper等人[29]建立近似解析模型来预测转静干涉噪声。Posson和Peake [30, 31] (2012-2013)考虑了管道中轴向剪切和旋转的基流的影响，重新整理方程为六阶线性算子作用下的压力扰动的形式，并将其应用于转静干涉的噪声预测。
本博客的组织如下： 首先，介绍了旋流管道的特征值求解问题，相较于传统的均匀流管道，重新整理的原始控制方程将考虑熵值变化的影响，并通过配置法数值求解矩阵特征值。最终，给出一些案例论证旋流、边界条件以及周向模态对特征值的影响。接着，第3节和第4节将分别具体地分析均熵和非均熵条件下，旋流管道声-涡-熵耦合的机理。耦合分析将建立在计算各个模态特征谱的压力、涡量和熵值的能量占比之上，并借此进一步分析不同参数在声-涡-熵耦合中的作用。在非均熵研究中，我们还将探究不稳定模态的产生机理和特性分析。最后，第5小节介绍旋流管道的发声机理，是对Lighthill声类比的拓展，为后续对旋转机械旋流背景下的转静干涉的噪声预测及“声共振”机理的研究打下基础。
旋流管道特征值求解
线性欧拉方程
首先，我们来考虑欧拉描述的无粘流体的运动方程。 欧拉方程是Navier-Stokes方程粘度为零的特例。设$\vec{\underset{\scriptscriptstyle-}{u}}$是流体的总速度，$\underset{\scriptscriptstyle-}{\rho }$是流体的总密度，$\underset{\scriptscriptstyle-}{p}$是流体的总压力，$\underset{\scriptscriptstyle-}{e}$是每单位质量流体的总内部能量。
欧拉方程由下式给出：
方程1为质量守恒，方程2为动量守恒，方程3为能量守恒。
能量守恒还可以写成总熵的表达形式：
另外，还需状态方程来封闭求解欧拉方程，假设为理想气体：
其中，T为绝对温度。
令cp为等压热容, cv等体积热容，R = cp – cv，绝热指数γ = cp/cv. 对理想气体来说，e = cvT，因此可得下式：
可以带入质量守恒守恒可以将能量方程3改写成下式：
声作为以特定波长的非定常扰动以声速在流体中的传播，流体的总速度、密度和压力可表示为未扰动前的基础流（平均流）与扰动量的叠加形式：
备注:
公式编辑：通过mathtype转换到latex，但也同样存在一些兼容性问题。比如”{}^”和“{}_”,需要把括号去掉，否则会导致报错。改变策略：直接引入pdf。
TODO：
- 改变代码，适应deal-ii